Домашнее задание – теория вероятностей N=02 α=0 β=2 2 В студенческой группе (8+ β)=10 человек имеют мобильный телефон марки А

Дипломные работы на заказ

Домашнее задание – теория вероятностей
N=02; α=0; β=2
2. В студенческой группе (8+ β)=10 человек имеют мобильный телефон марки А, и (13 – α)=13 человек имеют мобильный телефон марки S. Для проведения опроса случайным образом из списка группы выбирают 4 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов:
2.1. Ровно два студента имеют мобильный телефон марки S;
2.2. Хотя бы один студент имеет мобильный телефон марки S;
2.3. Не более двух студентов имеют мобильный телефон марки S;
2.4. Первый из отобранных студентов имеет телефон марки S, а второй имеет телефон марки А.
Решение:
2.1. Ровно два студента имеют мобильный телефон марки S;
Общее количество исходов равно числу сочетаний из 13+10=23 по 4 человека.
Благоприятное количество исходов равно произведению числа сочетаний из 10 по 2 человека с телефоном марки А и числа сочетаний из 13 по 2 человека с телефоном марки S.
Тогда искомая вероятность равна:
PA=C102C132C234=10!2!10-2!*13!2!13-2!23!4!23-4!≈0,396

2.2. Хотя бы один студент имеет мобильный телефон марки S;
Искомую вероятность удобнее найти как вероятность события, противоположного событию «все студенты имеют мобильный телефон марки А», для которого благоприятное количество исходов равно числу сочетаний из 10 по 4 человека с телефоном марки А.
Тогда искомая вероятность равна:
PA=1-PA=1-C104C234=1-10!4!10-4!23!4!23-4!≈1-0,024=0,976
2.3. Не более двух студентов имеют мобильный телефон марки S;
Искомое событие рассмотрим как сумму событий A0=«ни один студент не имеет мобильный телефон марки S»; A1=«один студент имеет мобильный телефон марки S»; A2=«два студента имеют мобильный телефон марки S».
Вероятности событий А0 и А2 вычислены, соответственно, в п.п. 2.2 и 2.1.
Найдем вероятность события A1, для которого благоприятное количество исходов равно произведению числа сочетаний из 10 по 3 человека с телефоном марки А и числа сочетаний из 13 по 1 человека с телефоном марки S:
PA1=C103C131C234=10!3!10-3!*1323!4!23-4!≈0,176
Тогда искомая вероятность равна:
PA=PA0+PA1+PA2=0,024+0,176+0,396=0,596

2.4. Первый из отобранных студентов имеет телефон марки S, а второй имеет телефон марки А.
Количество всех исходов равно числу размещений из 23 по 2 человека.
Количество благоприятных исходов равно произведению числа размещений из 13 по 1 человеку с телефоном марки S и числа размещений из 10 по 1 человеку с телефоном марки А.
Тогда искомая вероятность равна:
PA=A131*A101A232=13*1023!23-2!≈0,257

3. Компания поставляет компьютеры и периферийное оборудование по заказам клиентов в регионы России. Размер заказа является случайной величиной. На основе накопленных данных компания провела оценку вероятностей появления заказов разного размера от двух групп клиентов – малые предприятия (МП), средние предприятия (СП). Вероятности представлены в таблице.

Заказчики Стоимость заказа (тыс. рублей)

100 200 300 400 500
МП 0,1 (0,2–β/100)=0,18 0,5 (0,2+β/100)=0,22 0
СП 0 0,1 (0,2+α/100)=0,2 0,5 (0,2–α/100)=0,2
Известно, что (30+β)%=32 заказов компании поступают от МП, а остальные заказы от СП.
3.1. Заказ поступил от МП, найти вероятность того, что сумма заказа, не менее 300 тыс. руб.;
3.2. Найти вероятность того, что размер заказа, отобранного случайным образом из базы данных компании, составит 400 тыс. руб.;
3.3. Поступил заказ на сумму 200 тыс. руб. Найти вероятность того, что этот заказ поступил от СП;
3.4. Для случайной величины Z=«Размер заказа, отобранного случайным образом из базы данных компании» построить ряд распределения, найти математическое ожидание и дисперсию.
Решение:
3.1. Заказ поступил от МП, найти вероятность того, что сумма заказа, не менее 300 тыс. руб.
PМП≥300=PМП=300+PМП=400+PМП=500=0,5+0,22+0=0,72

3.2. Найти вероятность того, что размер заказа, отобранного случайным образом из базы данных компании, составит 400 тыс. руб.
Вероятность поступления заказа от МП и СП равны, соответственно:
PH0=32100=0,32;PH1=1-PH0=0,68
Вероятности размера заказа в 400 тыс. рублей от МП и СП равны, соответственно:
PAH0=0,22; PAH1=0,5
Вычислим искомую вероятность по формуле полной вероятности:
PA=iPHi*PAHi=0,32*0,22+0,68*0,5=0,4104

3.3. Поступил заказ на сумму 200 тыс. руб. Найти вероятность того, что этот заказ поступил от СП.
Вероятность поступления заказа от МП и СП равны, соответственно:
PH0=32100=0,32;PH1=1-PH0=0,68
Вероятности размера заказа в 200 тыс. рублей от МП и СП равны, соответственно:
PAH0=0,18; PAH1=0,1
Вычислим вероятность поступления заказа размером в 200 тыс. рублей по формуле полной вероятности:
PA=iPHi*PAHi=0,32*0,18+0,68*0,1=0,1256
Тогда искомую вероятность найдем по формуле Байеса:
PH1A=PH1*PAH1P(A)=0,68*0,10,1256≈0,5414

3.4. Для случайной величины Z=«Размер заказа, отобранного случайным образом из базы данных компании» построить ряд распределения, найти математическое ожидание и дисперсию.
Величина Z может принимать значения от 100 до 500 тыс. рублей.
Вычислим соответствующие вероятности по формуле полной вероятности:
PZ=100=0,32*0,1+0,68*0=0,032
PZ=200=0,32*0,18+0,68*0,1=0,1256
PZ=300=0,32*0,5+0,68*0,2=0,296
PZ=400=0,32*0,22+0,68*0,5=0,4104
PZ=500=0,32*0+0,68*0,2=0,136
Проверяем:
iPZi=0,032+…+0,136=1
Ряд распределения имеет вид:
Z 100 200 300 400 500
P(Z) 0,032 0,1256 0,296 0,4104 0,136

Математическое ожидание:
MZ=iZi*PZi=100*0,32+…+500*0,136=349,28
Дисперсия:
DZ=iZi2*PZi-MZ2=1002*0,32+…+5002*0,136-349,282=9651,4816

4. Наблюдения показали, что в один из салонов связи в среднем каждый час заходят 4 потенциальных покупателя. Вероятность того, что потенциальный покупатель совершит покупку, равна (0,3+β/100)=0,32. (Каждый покупатель принимает решения независимо от остальных).
4.1. Составить закон распределения для случайной величины Х – количество телефонов, продаваемых в салоне в течение часа;
4.2. Найти числовые характеристики этой случайной величины;
4.3. Найти вероятность того, что отклонение фактического числа телефонов, проданных за час от среднего значения, не превысит 1;
4.4. Найти наивероятнейшее число телефонов, продаваемых за час в данном салоне связи;
4.5. Составить закон распределения для случайной величины Y – количество посетителей, которые в течение часа ушли из салона связи без покупки.
Решение:
4.1. Составить закон распределения для случайной величины Х – количество телефонов, продаваемых в салоне в течение часа.
Случайная величина Х может принимать значения от 0 до 4.
Найдем соответствующие вероятности по формуле Бернулли:
PX=0=C40p0(1-p)4=1*1*(1-0,32)4≈0,2138
PX=1=C41p1(1-p)3=4*0,32*(1-0,32)3≈0,4025
PX=2=C42p2(1-p)2=4!2!4-2!*0,322*(1-0,32)2≈0,2841
PX=3=C43p3(1-p)1=4*0,323*(1-0,32)1≈0,0891
PX=4=C44p4(1-p)0=1*0,324*1≈0,0105
Проверяем:
iPXi=0,2138+…+0,0105=1
Закон распределения:
X 0 1 2 3 4
P(X) 0,2138 0,4025 0,2841 0,0891 0,0105

4.2. Найти числовые характеристики этой случайной величины:
Мода (варианта с наибольшей частотой):
M0=1
Медиана (значение признака, которое делит ряд на две равные части, для дискретной величины PMe≤x>0,5; Px≥Me>0,5)):
Me=1
Математическое ожидание биномиально распределенной величины:
MX=np=4*0,32=1,28
Дисперсия биномиально распределенной величины:
DX=npq=4*0,32*(1-0,32)=0,8704
Среднее квадратическое отклонение:
σx=D(x)=0,8704≈0,933

4.3. Найти вероятность того, что отклонение фактического числа телефонов, проданных за час, от среднего значения, не превысит 1.
PX-Mx≤1=P-1≤X-1,28≤1=P0,28≤X≤2,28=
=PX=1+PX=2=0,4025+0,2841=0,6866

4.4. Найти наивероятнейшее число телефонов, продаваемых за час в данном салоне связи.
Исходя из закона распределения число проданных телефонов, имеющее наибольшую вероятность, равно k=1.
В общем случае наивероятнейшее число появления события определяется из двойного неравенства:
np-q≤k≤np+p
4*0,32-0,68≤k≤4*0,32+0,32
0,6≤k≤1,6;k=1

4.5. Составить закон распределения для случайной величины Y – количество посетителей, которые в течение часа ушли из салона связи без покупки.
Поскольку случайная величина Y связана с Х соотношением X+Y=4; т.е. P(Y=k)=P(X=4-k), то закон распределения имеет вид:
Y 0 1 2 3 4
P(Y) 0,0105 0,0891 0,2841 0,4025 0,2138

5. Компания-оператор мобильной связи в результате анализа информации о длительности разговоров установила, что для одной из групп клиентов случайная величина Х – продолжительность разговора (в минутах) может быть представлена следующей функцией плотности распределения вероятностей
fx=0;-∞<x≤0kx;0<x≤55k(6+β-x)1+β;5<x≤(6+β)0;6+β<x=0;-∞<x≤0kx;0<x≤55k(8-x)3;5<x≤80;8<x
Найти:
5.1. Параметр k.
5.2. Функцию распределения F(x), построить графики функции плотности и функции распределения.
5.3. Найти числовые характеристики случайной величины Х: моду, медиану, математическое ожидание и дисперсию.
5.4. Вероятности следующих событий: (Х≤ 3), (Х≤ 5,5), (Х > 4), (Х > 5,2),
(3,5 < Х ≤ 5,5), (5,1 < Х ≤ 5,3), (3,0 < Х ≤ 5,5).
Решение:
5.1. Параметр k найдем из свойства плотности распределения:
-∞∞fxdx=1
В нашем случае:
05kxdx+585k(8-x)3dx=kx2205-5k8-x2658=20k;k=120
Плотность распределения имеет вид:
fx=0;-∞<x≤0120x;0<x≤5(8-x)12;5<x≤80;8<x
5.2. Функция распределения связана с плотностью соотношением:
Fx=-∞xf(x)dx
В нашем случае:
— для интервала (0;5):
0x120xdx=x2400x=x240
— для интервала (5;8):
5x(8-x)12dx+F5=-8-x2245x+58=1-8-x224
График плотности распределения:

График функции распределения:

5.3. Найти числовые характеристики случайной величины Х: моду, медиану, математическое ожидание и дисперсию.
Моду (значение, при котором плотность распределения достигает максимума) определяем по графику плотности распределения:
M0=5
Медиану (значение признака, которое делит ряд на две равные части: F(Me)=1/2) определяем, исходя из того, медиана принадлежит промежутку (0;5):
Me240=12;Me=20≈4,472
Математическое ожидание:
Mx=-∞∞xf(x)dx
Применительно к нашим данным:
Mx=05x220dx+58(8-x)x12dx=x36005+12×2-x33658=133
Дисперсия:
Dx=-∞∞x2f(x)dx-Mx2
Применительно к нашим данным:
Dx=05x320dx+58(8-x)x212dx-1332=x48005+32×3-3×414458-1332=4918

5.4. Вероятности следующих событий: (Х≤ 3), (Х≤ 5,5), (Х > 4), (Х > 5,2),
(3,5 < Х ≤ 5,5), (5,1 < Х ≤ 5,3), (3,0 < Х ≤ 5,5).
Вероятность попадания в интервал:
Px1<x<x2=x1x2f(x)dx=Fx2-F(x1)
Применительно к нашим данным:
Px≤3=F3=3240=0,225
Px≤5,5=F5,5=1-8-5,5224≈0,74
Px>4=1-F4=1-4240=0,6
P3,5<x≤5,5=F5,5-F3,5=0,74-3,5240≈0,433
P5,1<x≤5,3=F5,3-F5,1=8-5,1224-8-5,3224≈0,047
P3<x≤5,5=F5,5-F3=0,74-0,225=0,515

6. Компания-оператор мобильной связи регулярно предлагает своим клиентам новые тарифные планы. Анализ информации, накопленной в базе данных компании, показал, что можно выделить две группы клиентов:
новаторы – при появлении нового тарифного плана в течение месяца (70+β)%=72% клиентов из этой группы переходят на новый тарифный план;
консерваторы — при появлении нового тарифного плана в течение месяца (10+α)%=10% клиентов из этой группы переходят на новый тарифный план;
Компания ввела новый тарифный план и выбрала для наблюдений 1000 «новаторов» и 500 «консерваторов». Найти вероятности следующих событий:
6.1. В группе новаторов в течение месяца перейдут на новый тарифный план не менее 700 человек.
6.2. В группе консерваторов в течение месяца перейдут на новый тарифный план не более 100 человек.
6.3. Число клиентов, перешедших в течение месяца на новый тарифный план в выбранной для наблюдений группе новаторов, будет находиться в диапазоне от 650 до 750 человек.
6.4. Из общей группы в 1500 человек, отобранных для наблюдений, случайным образом выбрали двух. Какова вероятность того, что хотя бы один из них перейдет на новый тарифный план в течение месяца.
Решение:
6.1. В группе новаторов в течение месяца перейдут на новый тарифный план не менее 700 человек.
Воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа:
Pm1,m2≈Фx2-Фx1
x1=m1-npnpq=700-1000*0,721000*0,72*(1-0,72)≈-1,41
x2=m2-npnpq=1000-1000*0,721000*0,72*(1-0,72)≈19,72
P700;1000≈Ф19,72-Ф-1,41=Ф19,72+Ф1,41=0,5+0,4192=0,9192

6.2. В группе консерваторов в течение месяца перейдут на новый тарифный план не более 100 человек.
Воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа:
Pm1,m2≈Фx2-Фx1
x1=m1-npnpq=0-500*0,1500*0,1*(1-0,1)≈-7,45
x2=m2-npnpq=100-500*0,1500*0,1*(1-0,9)≈7,45
P0;100≈Ф7,45-Ф-7,45=2Ф7,45=2*0,5=1

6.3. Число клиентов, перешедших в течение месяца на новый тарифный план в выбранной для наблюдений группе новаторов, будет находиться в диапазоне от 650 до 750 человек.
Воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа:
Pm1,m2≈Фx2-Фx1
x1=m1-npnpq=650-1000*0,721000*0,72*(1-0,72)≈-4,93
x2=m2-npnpq=750-1000*0,721000*0,72*(1-0,72)≈2,11
P650;750≈Ф2,11-Ф-4,93=Ф2,11+Ф4,93=0,4821+0,5=0,9821

6.4. Из общей группы в 1500 человек, отобранных для наблюдений, случайным образом выбрали двух. Какова вероятность того, что хотя бы один из них перейдет на новый тарифный план в течение месяца.
Вычислим вероятность того, что случайно выбранный человек перейдет на новый тарифный план по формуле полной вероятности:
p=0,72*10001500+0,1*5001500≈0,513
Тогда искомую вероятность вычислим как вероятность события, противоположного «никто из двух отобранных не перейдет на новый план»:
PA=1-PA=1-C22p0(1-p)2=1-1*1*(1-0,513)2≈0,763

7. Компания-оператор мобильной связи в результате анализа информации о длительности разговоров установила, что для одной из групп клиентов случайная величина Х – продолжительность разговора (в минутах) может быть описана с помощью показательного закона распределения. Для клиентов из данной группы средняя продолжительность разговора составляет (10 – β)=8 минут. Для случайной величины Х – продолжительность разговора (в минутах):
7.1. Построить графики функции плотности и функции распределения;
7.2. Найти среднее квадратическое отклонение;
7.3. Найти вероятность того, что фактическая продолжительность разговора превысит (10+α)=10 минут;
7.4. Найти вероятность того, что фактическая продолжительность разговора не превысит среднюю продолжительность разговора;
7.5. Найти вероятность того, что для клиента из данной группы фактическая продолжительность не менее трех разговоров из пяти превысит среднюю продолжительность разговора.
Решение:
Функции плотности и распределения показательного закона имеют вид:
fx=λe-λx;x>00;x≤0
Fx=1-e-λx;x>00;x≤0
В нашем случае:
fx=18e-18x;x>00;x≤0
Fx=1-e-18x;x>00;x≤0
7.2. Найти среднее квадратическое отклонение
Среднее квадратичное отклонение величины, распределенной по показательному закону:
σ=1λ=8
7.3. Найти вероятность того, что фактическая продолжительность разговора превысит 10 минут
Px>10=10∞fxdx=1-F10=e-1,25≈0,287

7.4. Найти вероятность того, что фактическая продолжительность разговора не превысит среднюю продолжительность разговора
Px≤8=08fxdx=F8=1-e-1≈0,632

7.5. Найти вероятность того, что для клиента из данной группы фактическая продолжительность не менее трех разговоров из пяти превысит среднюю продолжительность разговора
Вероятность того, что для клиента из данной группы фактическая продолжительность разговора превысит среднюю продолжительность разговора:
P(A)=1-Px≤8=1-0,632=0,368
Вычислим вероятности того, что продолжительности 3, 4 и 5 разговоров соответственно, превысит среднюю продолжительность по формуле Бернулли:
P5A,3=C53p3(1-p)2=5!3!5-3!0,3683(1-0,368)2≈0,199
P5A,4=C54p4(1-p)1=5*0,3684(1-0,368)≈0,058
P5A,5=C55p5(1-p)0=1*0,3685*1≈0,007
Тогда искомая вероятность равна:
PA≥3=0,199+0,058+0,007=0,264

8. Компания-оператор мобильной связи для одной из групп клиентов провела анализ информации о «поведении» двух случайных величин:
Х– количество входящих звонков (за час), Y- количество выходящих звонков (за час). Результаты исследования для этой группы клиентов представлены в таблице.

Возможные значения Х

0 1 2
Возможные значения Y 1 0,2 (0,1–α/100)=0,1 0

2 (0,1+ α/100)=0,1 0,2 (0,1+β/100)=0,12

3 0 (0,1– β/100)=0,08 0,2

8.1. Построить (безусловный) ряд распределения для случайной величины Х и найти характеристики этой случайной величины;
8.2. Построить (условный) ряд распределения для случайной величины Y, при условии Х= 2;
8.3. Определить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми (независимыми);
8.4. Построить ряд распределения для случайной величины Z = X+Y.
Решение:
8.1. Построить (безусловный) ряд распределения для случайной величины Х и найти характеристики этой случайной величины.
Вычислим соответствующие вероятности:
Px=0=0,2+0,1+0=0,3
Px=1=0,1+0,2+0,08=0,38
Px=2=0+0,12+0,2=0,32
Ряд распределения имеет вид:
Х 0 1 2
Р(х) 0,3 0,38 0,32

Математическое ожидание:
MX=iXi*PXi=0*0,3+1*0,38+2*0,32=1,02
Дисперсия:
DX=iXi2*PXi-MX2=02*0,3+12*0,38+22*0,32-1,022=0,6196
Среднее квадратическое отклонение:
σX=D(X)=0,6196≈0,787

8.2. Построить (условный) ряд распределения для случайной величины Y, при условии Х= 2;
Поскольку P(X=2)=0,32, соответствующие вероятности равны:
PY=1=00,32=0
PY=2=0,120,32=0,375
PY=3=0,20,32=0,625
Условный ряд распределения величины Y при условии Х= 2 имеет вид:
Y 1 2 3
P(Y) 0 0,375 0,625

8.3. Определить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми (независимыми).
Построим безусловный ряд распределения величины Y:
Y 1 2 3
P(Y) 0,3 0,42 0,28

Математическое ожидание:
MY=iYi*PYi=1*0,3+2*0,42+3*0,28=1,98
Дисперсия:
DY=iYi2*PYi-MY2=12*0,3+22*0,42+32*0,28-1,982=0,5796
Среднее квадратическое отклонение:
σY=D(Y)=0,5796≈0,761
Вычислим коэффициент корреляции величин X и Y:
r(X,Y) =i,jXi*Yj*pi,j-M(X)*M(Y)σX*σY
r(X,Y) =(0*1*0,2+…+2*3*0,2)-1,02*1,980,787*0,761≈0,669
Величина коэффициента корреляции (0,5<|r|<0,7) говорит о наличии зависимости средней силы между координатами вектора, а знак («+») – о том, что зависимость прямая.

8.4. Построить ряд распределения для случайной величины Z = X+Y.
Величина Z может принимать значения от 1 до 5. Найдем соответствующие вероятности:
PZ=1=p0,1=0,2
PZ=2=p0,2+p1,1=0,1+0,1=0,2
PZ=3=p0,3+p1,2+p2,1=0+0,2+0=0,2
PZ=4=p1,3+p2,2=0,08+0,12=0,2
PZ=5=p2,3=0,2
Ряд распределения для случайной величины Z имеет вид:
Z 1 2 3 4 5
P(Z) 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2


+7 (812) 389-23-13

Работаем: Пн-Пт, с 10 до 17

+7 (499) 649-65-17

Работаем: Пн-Пт, с 10 до 17